Question

10．在[0，1]上随机取一个数k，则事件“直线y=kx与函数y=lnx的图象有2个公共点”发生的概率为$\frac{1}{e}$．

Answer 1

分析 令kx=lnx，则k=$\frac{lnx}{x}$，记f（x）=$\frac{lnx}{x}$，根据函数的单调性求出k的范围，根据几何概型求出名字条件的概率即可．

解答 解：由题意，令kx=lnx，则k=$\frac{lnx}{x}$，
记f（x）=$\frac{lnx}{x}$，f'（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
f'（x）在（0，e）上为正，在（e，+∞）上为负，
故f（x）在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，
f（x）的在最大值是f（e）=$\frac{1}{e}$，
故0≤k＜$\frac{1}{e}$，
由$\frac{\frac{1}{e}-0}{1-0}$=$\frac{1}{e}$，
得直线y=kx与函数y=lnx的图象有2个公共点”发生的概率为$\frac{1}{e}$，
故答案为：$\frac{1}{e}$．

点评 本题考查了几何概型问题，考查函数的单调性问题以及转化思想，是一道中档题．