Question

5．已知$A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），\overrightarrow{AC}⊥\overrightarrow{BC}$，则sin2α的值为（　　）

• A． $\frac{8}{9}$
• B． $-\frac{8}{9}$
• C． $\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$
• D． $-\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$

Answer 1

分析 利用两个向量垂直的性质可得$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=0，再利用两个向量数量积公式求得sinα+cosα的值，再平方，可得sin2α的值．

解答 解：∵已知$A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），\overrightarrow{AC}⊥\overrightarrow{BC}$，
∴$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=（cosα-3，sinα）•（cosα，sinα-3）=（cosα-3）cosα+sinα（sinα-3）
=1-3（sinα+cosα）=0，∴sinα+cosα=$\frac{1}{3}$，平方可得1+2sinαcosα=$\frac{1}{9}$，
∴2sinαcosα=sin2α=-$\frac{8}{9}$，
故选：B．

点评 本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，两个向量数量积公式，二倍角公式的应用，属于中档题．