Question

13．已知数列{a_n}满足${a_{n+1}}=\sqrt{{a_n}^2-2{a_n}+2}+1（n∈{N_+}）$，则使不等式a₂₀₁₆＞2017成立的所有正整数a₁的集合为（　　）

• A． {a₁|a₁≥2017，a₁∈N₊}
• B． {a₁|a₁≥2016，a₁∈N₊}
• C． {a₁|a₁≥2015，a₁∈N₊}
• D． {a₁|a₁≥2014，a₁∈N₊}

Answer 1

分析 数列{a_n}满足${a_{n+1}}=\sqrt{{a_n}^2-2{a_n}+2}+1（n∈{N_+}）$，可得$（{a}_{n+1}-1）^{2}$-$（{a}_{n}-1）^{2}$=1，a_n+1≥2．不等式a₂₀₁₆＞2017化为：$\sqrt{（{a}_{1}-1）^{2}+2015}$+1≥2017，进而得出．

解答 解：∵数列{a_n}满足${a_{n+1}}=\sqrt{{a_n}^2-2{a_n}+2}+1（n∈{N_+}）$，
∴$（{a}_{n+1}-1）^{2}$-$（{a}_{n}-1）^{2}$=1，a_n+1≥2．
∴$（{a}_{n}-1）^{2}$=$（{a}_{1}-1）^{2}$+（n-1）．
则不等式a₂₀₁₆＞2017化为：$\sqrt{（{a}_{1}-1）^{2}+2015}$+1≥2017，
∴$（{a}_{1}-1）^{2}$≥2016²-2015，解得a₁≥2017．
∴则使不等式a₂₀₁₆＞2017成立的所有正整数a₁的集合为{a₁|a₁≥2017，a₁∈N₊}．
故选：A．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．