Question

1．若数列{a_n}是公差为2的等差数列，数列{b_n}满足b₁=1，b₂=2，且a_nb_n+b_n=nb_n+1．
（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{c_n}满足c_n=$\frac{{a}_{n}+1}{{b}_{n+1}}$，数列{c_n}的前n项和为T_n，若不等式（-1）ⁿλ＜T_n+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$对一切n∈N^*，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （I）数列{b_n}满足b₁=1，b₂=2，且a_nb_n+b_n=nb_n+1．可得a₁+1=2，解得a₁．利用等差数列的通项公式可得a_n．
可得2nb_n=nb_n+1，化为2b_n=b_n+1，利用等比数列的通项公式可得b_n．
（Ⅱ）设数列{c_n}满足c_n=$\frac{{a}_{n}+1}{{b}_{n+1}}$=$\frac{2n}{{2}^{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，利用“错位相减法”可得数列{c_n}的前n项和为T_n，再利用数列的单调性与分类讨论即可得出．

解答 解：（I）∵数列{b_n}满足b₁=1，b₂=2，且a_nb_n+b_n=nb_n+1．
∴a₁+1=2，解得a₁=1．
又数列{a_n}是公差为2的等差数列，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
∴2nb_n=nb_n+1，化为2b_n=b_n+1，
∴数列{b_n}是等比数列，公比为2．
∴b_n=2^n-1．
（Ⅱ）设数列{c_n}满足c_n=$\frac{{a}_{n}+1}{{b}_{n+1}}$=$\frac{2n}{{2}^{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，
数列{c_n}的前n项和为T_n=1+$\frac{2}{2}+\frac{3}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n-1}}$+$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$，
∴T_n=4-$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$．
不等式（-1）ⁿλ＜T_n+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，化为：（-1）ⁿλ＜4-$\frac{2}{{2}^{n-1}}$，
n=2k（k∈N^*）时，λ＜4-$\frac{2}{{2}^{n-1}}$，∴λ＜3．
n=2k-1（k∈N^*）时，-λ＜4-$\frac{2}{{2}^{n-1}}$，∴λ＞-2．
综上可得：实数λ的取值范围是（-2，3）．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、数列的单调性、数列递推关系、“错位相减法”，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．