Question

11．如图所示，在三棱锥P-ABC中，已知PC⊥平面ABC，点C在平面PBA内的射影D在直线PB上．
（1）求证：AB⊥平面PBC；
（2）设AB=BC，直线PA与平面ABC所成的角为45°，求二面角C-PA-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）证明AB⊥PC．AB⊥CD．然后证明AB⊥平面PBC．
（2）说明∠PAC为直线PA与平面ABC所成的角．以B为原点建立如图所示的空间直角坐标系，求出相关点的坐标，通过$\overrightarrow{BE}$是平面PAC的法向量．求出平面PAB的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的余弦值．

解答 解：（1）证明：∵PC⊥平面ABC，AB?平面ABC，∴AB⊥PC．
∵点C在平面PBA内的射影D在直线PB上，∴CD⊥平面PBA．
又∵AB?平面PBA，∴AB⊥CD．
又∵CD∩PC=C，∴AB⊥平面PBC．

（2）∵PC⊥平面ABC，∴∠PAC为直线PA与平面ABC所成的角．
于是∠PAC=45°，设AB=BC=1，则$PC=AC=\sqrt{2}$，以B为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则$B（{0，0，0}），A（{0，1，0}），C（{1，0，0}），P（{1，0，\sqrt{2}}）$，
取AC的中点E，连接BE，则$\overrightarrow{BE}=（{\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，0}）$，∵AB=BC，∴BE⊥AC．
又∵平面PCA⊥平面ABC，∴BE⊥平面PAC．∴$\overrightarrow{BE}$是平面PAC的法向量．设平面PAB的法向量为$\overrightarrow n=（{x，y，z}）$，则由$\left\{\begin{array}{l}n⊥\overrightarrow{BA}\\ n⊥\overrightarrow{AP}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}y=0\\ x-y+\sqrt{2}z=0\end{array}\right.$取z=1，得$\left\{\begin{array}{l}y=0\\ x=-\sqrt{2}\end{array}\right.$，∴$\overrightarrow n=（{-\sqrt{2}，0，1}）$．
于是$cos\left?{\overrightarrow n，\overrightarrow{BE}}\right＞=\frac{{\overrightarrow n•\overrightarrow{BE}}}{{|{\overrightarrow n}|•|{\overrightarrow{BE}}|}}=\frac{{-\frac{{\sqrt{2}}}{2}}}{{\sqrt{3}•\frac{{\sqrt{2}}}{2}}}=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
又∵二面角C-PC-B为锐角，∴所求二面角的余弦值为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，二面角以及直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．