Question

1．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2AD=2，$∠DAB=\frac{π}{3}$，PD⊥AD，PD⊥DC．
（Ⅰ）证明：平面PBC⊥平面PBD；
（Ⅱ）若二面角P-BC-D为$\frac{π}{6}$，求AP与平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出PD⊥BC，AD⊥BD，由AD∥BC，得BC⊥BD，从而BC⊥平面PBD，由此能证明平面PBC⊥平面PBD．
（Ⅱ）由BC⊥平面PBD，知∠PBD即为二面角P-BC-D的平面角，即∠PBD=$\frac{π}{6}$，分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．利用向量法能求出AP与平面PBC所成角的正弦值．

解答 证明：（Ⅰ）∵PD⊥AD，PD⊥CDAD∩CD=D，AD?平面ABCDCD?平面ABCD
∴PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD
∴PD⊥BC…（2分）
又$AB=2，AD=1，∠DAB=\frac{π}{3}$
∴$BD=\sqrt{{2^2}+{1^2}-2×2×1×cos\frac{π}{3}}=\sqrt{3}$
又$\frac{BD}{sinA}=\frac{AB}{sin∠ADB}$∴$sin∠ADB=\frac{{2×\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}{{\sqrt{3}}}=1$，
∠ADB=90°，AD⊥BD，又AD∥BC
∴BC⊥BD…（4分）
又∵PD∩BD=D，BD?平面PBD，PD?平面PBD
∴BC⊥平面PBD
而BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBD…（6分）
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）所证，BC⊥平面PBD
∴∠PBD即为二面角P-BC-D的平面角，即∠PBD=$\frac{π}{6}$
而$BD=\sqrt{3}$，所以PD=1…（8分）
分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
则A（1，0，0），$B（0，\sqrt{3}，0）$，$C（-1，\sqrt{3}，0）$，P（0，0，1）
∴$\overrightarrow{AP}=（-1，0，1）$，$\overrightarrow{BC}$=（-1，0，0），$\overrightarrow{BP}=（0，-\sqrt{3}，1）$，
设平面PBC的法向量为$\overrightarrow n=（x，y，z）$，
则 $\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow n•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow n•\overrightarrow{BP}=0}\end{array}}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}-x=0\\-\sqrt{3}y+z=0\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow n=（0\;，\;1\;\;，\sqrt{3}）$…（10分）
∴AP与平面PBC所成角的正弦值为：
$sinθ=\frac{{|{\overrightarrow{AP}•\overrightarrow n}|}}{{|{\overrightarrow{AP}}||{\overrightarrow n}|}}=\frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{2}•2}}=\frac{{\sqrt{6}}}{4}$．…（12分）

点评 本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．