Question

8．圆C₁：x²+y²+2x+8y-8=0，圆C₂：x²+y²-4x-4y-2=0．
（1）写出两圆的圆心和半径，试判断圆C₁与圆C₂的位置关系；
（2）若经过点A（-1，1）的直线1与圆C₂相切，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）圆：x²+y²+Dx+Ey+F=0的圆心（-$\frac{D}{2}$，-$\frac{E}{2}$），半径=$\frac{1}{2}\sqrt{{D}^{2}+{E}^{2}-4F}$，由此能求出两圆的圆心和半径，再求出圆心距，利用圆心距和两圆半径的关系能判断圆C₁与圆C₂的位置关系．
（2）点A（-1，1）在圆C₂：x²+y²-4x-4y-2=0上，求出${k}_{A{C}_{2}}$=$\frac{1}{3}$，从而直线l的斜率k=-$\frac{1}{{k}_{A{C}_{2}}}$=-3，由此能求出直线l的方程．

解答 解：（1）圆C₁：x²+y²+2x+8y-8=0的圆心C₁（-1，-4），半径r₁=$\frac{1}{2}\sqrt{4+64+32}$=5，
圆C₂：x²+y²-4x-4y-2=0的圆心C₂（2，2），半径r₂=$\frac{1}{2}\sqrt{16+16+8}$=$\sqrt{10}$，
|C₁C₂|=$\sqrt{{3}^{2}+{6}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
∴|r₁-r₂|＜|C₁C₂|＜r₁+r₂，
∴圆C₁与圆C₂相交．
（2）点A（-1，1）在圆C₂：x²+y²-4x-4y-2=0上，
${k}_{A{C}_{2}}$=$\frac{2-1}{2+1}$=$\frac{1}{3}$，
∵经过点A（-1，1）的直线1与圆C₂相切，
∴直线l的斜率k=-$\frac{1}{{k}_{A{C}_{2}}}$=-3，
∴直线l的方程为y-1=-3（x+1），即3x+y+2=0．

点评 本题考查圆、直线方程、两点间距离公式、斜率公式、切线等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．