Question

在距A城50km的B地发现稀有金属矿藏，现知由A至某方向有一条直铁路AX，B到该铁路的距离为30km，为在AB之间运送物资，拟在铁路AX上的某点C处筑一直公路通到B地．已知单位重量货物的铁路运费与运输距离成正比，比例系数为k₁（k₁为常数且k₁＞0）；单位重量货物的公路运费与运输距离的平方成正比，比例系数为k₂（k₂为常数且k₂＞0）．设单位重量货物的总运费为y元，AC之间的距离为xkm．
（1）将y表示成x的函数；
（2）若k₁=20k₂，则当x为何值时，单位重量货物的总运费最少．并求出最少运费．

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）设AC段的运费为y₁，CB段的运费为y₂，然后求出两个运费，即可求出y表示成x的函数；
（2）利用k₁=20k₂，化简函数的表达式，利用二次函数的最值，即可求出x为何值时，单位重量货物的总运费最少．

解答： （（10分），每小问5分）
解：（1）设AC段的运费为y₁，CB段的运费为y₂AD=

AB2-BD2

=

502-302

=40km，
CD=AD-AC=（40-x）kmBC=

BD2+CD2

=

302+(40-x)2

=

x2-80x+2500

km
所以

y1=k1x y2=k2(x2-80x+2500)

所以y=y1+y2=k2x2+(k1-80k2)x+2500k2
（2）∵k₁=20k₂
∴y=k2x2-60k2x+2500k2=k2(x-30)2+1600k2
所以当x=30km时y取最小值，即y_min=y|_x=30=1600k₂

点评：本题考查函数的实际应用，列出函数的解析式是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力．