Question

已知正实数a、b、c满足

1

a

+

1

b

=1，

1

ab

+

1

bc

+

1

ca

=1，则实数c的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：由于

1

a

+

1

b

=1，

1

ab

+

1

bc

+

1

ca

=1，可得

1

ab

+

1

c

=1，化为c=

ab

ab-1

．由于正实数a、b满足

1

a

+

1

b

=1，利用基本不等式的性质可得ab≥4．变形c=

ab-1+1

ab-1

=ab-1+

1

ab-1

+1，令ab-1=t≥3，则c=t+

1

t

+1，利用导数研究其单调性即可得出．

解答： 解：∵

1

ab

+

1

bc

+

1

ca

=1，∴

1

ab

+

1

c

=1，化为c=

ab

ab-1

．
∵正实数a、b满足

1

a

+

1

b

=1，∴1≥2

1 ab

，化为ab≥4．
则c=

ab-1+1

ab-1

=ab-1+

1

ab-1

+1，令ab-1=t≥3，
则c=t+

1

t

+1，
c′=1-

1

t2

=

t2-1

t2

＞0，
∴函数c（t）在[3，+∞）上单调递增．
∴c≥3+

1

3

+1=

13

3

．
∴实数c的取值范围是[

13

3

，+∞)．
故答案为：[

13

3

，+∞)．

点评：本题考查了基本不等式的性质、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．