Question

用直线y=m和直线y=x将区域x²+y²≤6分成若干块．现在用5种不同的颜色给这若干块染色，每块只染一种颜色，且任意两块不同色，若共有120种不同的染色方法，则实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：排列、组合及简单计数问题

专题：计算题,排列组合

分析：区域x²+y²≤6表示以原点O（0，0）为圆心，半径等于

6

的一个圆面，经过分类讨论可得，只有当-

3

＜m＜

3

时，圆面被分成了4部分，按题中要求的涂色方法共有

A

4 5

=120种，满足条件，从而得出结论．

解答： 解：区域x²+y²≤6表示以原点O（0，0）为圆心，半径等于

6

的一个圆面（圆周以及圆周内部），
直线y=x和圆周的交点为 A（

3

，

3

）、B（-

3

，-

3

）．
直线y=m表示一条和x轴平行的直线，
①当

3

≤|m|＜

6

时，圆面被分成了3部分，用5种不同的颜色给这3块染色，每块只染一种颜色，且任意两块不同色，则共有

A

3 5

=60种不同的染色方法，不满足条件．
②当|m|≥

6

时，圆面被分成了2部分，按题中要求的涂色方法共有

A

2 5

=20种，不满足条件．
③显然，当-

3

＜m＜

3

时，圆面被分成了4部分，按题中要求的涂色方法共有

A

4 5

=120种，满足条件．
故答案为：（-

3

，

3

）．
如图所示：

点评：本题主要考查排列、组合以及简单计数原理的应用，直线和圆的位置关系，体现了数形结合及分类讨论的数学思想，属于中档题．