【题目】某中学的甲、乙、丙三名同学参加高校自主招生考试,每位同学彼此独立的从四所高校中选2所.
(Ⅰ)求甲、乙、丙三名同学都选高校的概率;
(Ⅱ)若已知甲同学特别喜欢高校,他必选
校,另在
三校中再随机选1所;而同学乙和丙对四所高校没有偏爱,因此他们每人在四所高校中随机选2所.
(ⅰ)求甲同学选高校且乙、丙都未选
高校的概率;
(ⅱ)记为甲、乙、丙三名同学中选
校的人数,求随机变量
的分布列及数学期望.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)(ⅰ)
(ⅱ)分布列见解析,期望为
.
【解析】
(Ⅰ)先根据古典概型概率求甲同学选高校的概率,同理可得乙、丙同学选
高校的概率,最后根据独立事件概率乘法公式得结果,(Ⅱ)(ⅰ)先根据古典概型概率求甲同学选
高校的概率以及乙、丙未选
高校的概率,最后根据独立事件概率乘法公式得结果,(ⅱ)先确定随机变量的取法,再分别求对应概率,列表得分布列,最后根据数学期望公式得结果.
(Ⅰ)甲从四所高校中选2所,共有AB,AC,AD,BC,BD,CD六种方法,
甲同学都选高校,共有AD,BD,CD三种方法,甲同学选
高校的概率为
,
因此乙、丙同学选高校的概率皆为
,
因为每位同学彼此独立,所以甲、乙、丙三名同学都选高校的概率为
(Ⅱ)(ⅰ)甲同学必选校且选
高校的概率为
,乙未选
高校的概率为
,丙未选
高校的概率为
,因为每位同学彼此独立,所以甲同学选
高校且乙、丙都未选
高校的概率
,
(ⅱ)
因此,
,
,
,
即分布列为
0 | 1 | 2 | 3 | |
P |
因此数学期望为
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【题目】定义在上的函数
,如果满足:对任意
,存在常数
,都有
成立,则称
是
上的有界函数,其中
称为函数
的上界.
(1)设,判断
在
上是否为有界函数,若是,请说明理由,并写出
的所有上界
的集合;若不是,也请说明理由;
(2)若函数在
上是以
为上界的有界函数,求实数
的取值范围.
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【题目】如图,在三棱锥P-ABC中,,平面
平面ABC,点D在线段BC上,且
,E,F分别为线段PC,AB的中点,点G是PD上的动点.
(1)证明:.
(2)当平面PAC时,求直线PA与平面EFG所成角的正弦值.
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【题目】如图,在直角梯形中,
,
,
,直角梯形
可以通过直角梯形
以直线
为轴旋转得到,且平面
平面
.
(1)求证:;
(2)设、
分别为
、
的中点,
为线段
上的点(不与点
重合).
(i)若平面平面
,求
的长;
(ii)线段上是否存在
,使得直线
平面
,若存在求
的长,若不存在说明理由.
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【题目】已知椭圆的焦点在x轴上,一个顶点为,离心率为
,过椭圆的右焦点F的直线l与坐标轴不垂直,且交椭圆于A,B两点.
求椭圆的方程;
设点C是点A关于x轴的对称点,在x轴上是否存在一个定点N,使得C,B,N三点共线?若存在,求出定点的坐标;若不存在,说明理由;
设
,是线段
为坐标原点
上的一个动点,且
,求m的取值范围.
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【题目】如图,将数字1,2,3,…, (
)全部填入一个2行
列的表格中,每格填一个数字,第一行填入的数字依次为
,
,…,
,第二行填入的数字依次为
,
,…,
.记
.
(Ⅰ)当时,若
,
,
,写出
的所有可能的取值;
(Ⅱ)给定正整数.试给出
,
,…,
的一组取值,使得无论
,
,…,
填写的顺序如何,
都只有一个取值,并求出此时
的值;
(Ⅲ)求证:对于给定的以及满足条件的所有填法,
的所有取值的奇偶性相同.
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