【题目】已知椭圆的焦点在x轴上,一个顶点为,离心率为
,过椭圆的右焦点F的直线l与坐标轴不垂直,且交椭圆于A,B两点.
求椭圆的方程;
设点C是点A关于x轴的对称点,在x轴上是否存在一个定点N,使得C,B,N三点共线?若存在,求出定点的坐标;若不存在,说明理由;
设
,是线段
为坐标原点
上的一个动点,且
,求m的取值范围.
【答案】(1);(2)定点
(3)
【解析】
(1)根据椭圆的一个顶点,即b=1,利用离心率求得a和c关系进而求得a,则椭圆的方程可得;(2)设存在N(t,0),使得C、B、N三点共线,则∥
,利用向量共线定理可得t
,即可得出.(3)设直线l的方程为y=k(x﹣2)(k≠0),代入椭圆方程,利用韦达定理结合向量的数量积公式,即可求得m的取值范围;
由椭圆的焦点在x轴上,设椭圆C的方程为
,
椭圆C的一个顶点为,即
由,解得:
,
所以椭圆C的标准方程为;
由得
,设
,
,
设直线l的方程为,代入椭圆方程,消去y可得
则,
,
点C与点A关于x轴对称,
假设存在,使得C、B、N三点共线,
则,
,
、B、N三点共线,
,
,
即,
.
存在定点
,使得C、B、N三点共线.
由
,
,
,
,
,
,
解得:,
当
时,符合题意
故m的范围为
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【题目】设数列{an}前n项和为Sn,满足Sn+1=4an+2(n∈N+),且a1=1,
(1)若cn,求证:数列{cn}是等差数列.
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
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【题目】将函数的图象向左平移
个单位,然后纵坐标不变,横坐标变为原来的
倍,得到
的图象,下面四个结论正确的是( )
A. 函数在区间
上为增函数
B. 将函数的图象向右平移
个单位后得到的图象关于原点对称
C. 点是函数
图象的一个对称中心
D. 函数在
上的最大值为
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【题目】设.
(1)若,且
是实系数一元二次方程
的一根,求
和
的值;
(2)若是纯虚数,已知
时,
取得最大值,求
;
(3)肖同学和谢同学同时独立地解答第(2)小题,己知两人能正确解答该题的概率分别是0.8和0.9,求该题能被正确解答的概率.
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【题目】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线C:就是其中之一(如图).给出下列三个结论:
①曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点);
②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过;
③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.
其中,所有正确结论的序号是
A. ①B. ②C. ①②D. ①②③
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【题目】已知椭圆的四个顶点组成的四边形的面积为
,且经过点
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若椭圆的下顶点为
,如图所示,点
为直线
上的一个动点,过椭圆
的右焦点
的直线
垂直于
,且与
交于
两点,与
交于点
,四边形
和
的面积分别为
.求
的最大值.
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【题目】2018年11月15日,我市召开全市创建全国文明城市动员大会,会议向全市人民发出动员令,吹响了集结号.为了了解哪些人更关注此活动,某机构随机抽取了年龄在15~75岁之间的100人进行调查,并按年龄绘制的频率分布直方图如图所示,其分组区间为:,
,
,
,
,
.把年龄落在
和
内的人分别称为“青少年人”和“中老年人”,经统计“青少年人”与“中老年人”的人数之比为
.
(1)求图中的值,若以每个小区间的中点值代替该区间的平均值,估计这100人年龄的平均值
;
(2)若“青少年人”中有15人关注此活动,根据已知条件完成题中的列联表,根据此统计结果,问能否有
的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注此活动?
关注 | 不关注 | 合计 | |
青少年人 | 15 | ||
中老年人 | |||
合计 | 50 | 50 | 100 |
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
附参考公式:,其中
.
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【题目】已知动圆过定点
且与圆
相切,记动圆圆心
的轨迹为曲线
.
(1)求曲线的方程;
(2)过点且斜率不为零的直线交曲线
于
,
两点,在
轴上是否存在定点
,使得直线
的斜率之积为非零常数?若存在,求出定点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】下列四种说法中,正确的个数有
①命题均有
的否定是:
使得
;
②“命题为真”是“命题
为真”的必要不充分条件;
③,使
是幂函数,且在
上是单调递增;
④不过原点的直线方程都可以表示成
;
A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个
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