Question

【题目】如图，将数字1,2,3，…， （）全部填入一个2行列的表格中，每格填一个数字，第一行填入的数字依次为， ，…， ，第二行填入的数字依次为， ，…， ．记．

（Ⅰ）当时，若， ， ，写出的所有可能的取值；

（Ⅱ）给定正整数．试给出， ，…， 的一组取值，使得无论， ，…， 填写的顺序如何， 都只有一个取值，并求出此时的值；

（Ⅲ）求证：对于给定的以及满足条件的所有填法， 的所有取值的奇偶性相同.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）3,5,7,9．（Ⅱ） （Ⅲ）奇偶性相同．

【解析】试题分析：

（Ⅰ）根据题意，易知的所有可能的取值为3,5,7,9．（Ⅱ）令（， ，…， ），则无论， ，…， 填写的顺序如何，都有．∵，∴，（ ， ，…， ），∵（，2，…， ），所以．（Ⅲ）显然，交换每一列中两个数的位置，所得的的值不变．不妨设，记， ，其中1，2，…， ，

则，因为，所以与具有相同的奇偶性，又因为与的奇偶性相同，所以的所有可能取值的奇偶性相同．

试题解析：

（Ⅰ）的所有可能的取值为3,5,7,9．

（Ⅱ）令（， ，…， ），则无论， ，…， 填写的顺序如何，都有．

∵，∴，（ ， ，…， ），

∵（，2，…， ），

所以．　

（Ⅲ）显然，交换每一列中两个数的位置，所得的的值不变．

不妨设，记， ，其中1，2，…， ，

则，

因为，

所以与具有相同的奇偶性，

又因为与的奇偶性相同，

所以的所有可能取值的奇偶性相同．