【题目】已知点是圆心为的圆上的动点,点, 为坐标原点,线段的垂直平分线交于点.
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)过原点作直线交(1)中的轨迹于点,点在轨迹上,且,点满足,试求四边形的面积的取值范围.
【答案】(1);(2).
【解析】【试题分析】(1)借助椭圆的定义分析求解;(2)先借助题设将题设条件进行等价转化,再建立目标函数运用基本不等式进行分析探求:
(1)由于点在线段的垂直平分线上,故,因此,故点轨迹为椭圆,其中, ,因此点的轨迹的方程为.
(2)由,知四边形为平行四边形,故.
(i)当为长轴(或短轴)时,依题意,知点就是椭圆的上下顶点(或左右顶点),此时,即.
(ii)当直线的斜率存在且不为0时,设斜率为,则直线的方程为,联立方程,消去,得,故, ,
所以,由,知为等腰三角形, 为的中点,所以,所以直线的方程为,
同理,得,
,
设,则,
而,所以当时, ,又,所以,
所以,
综上所述, .
所以四边形的面积的取值范围为.
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【题目】命题p:关于x的不等式的解集为;命题q:函数为增函数.命题r:a满足.
(1)若p∨q是真命题且p∧q是假题.求实数a的取值范围.
(2)试判断命题¬p是命题r成立的一个什么条件.
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【题目】一个均匀的正方体玩具,各个面上分别写有1,2,3,4,5,6,将这个玩具先后抛掷2次,求:
(1)朝上的一面数相等的概率;
(2)朝上的一面数之和小于5的概率.
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【题目】已知函数f(x)=2x+2﹣x ,
(1)判断函数的奇偶性;
(2)用函数单调性定义证明:f(x)在(0,+∞)上为单调增函数;
(3)若f(x)=52﹣x+3,求x的值.
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【题目】现有一枚质地均匀的骰子,连续投掷两次,计算:
(1)一共有多少种不同的结果?
(2)其中向上的点数之和是7的结果有多少种?
(3)向上的点数之和是7的概率是多少?
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【题目】如图,将数字1,2,3,…, ()全部填入一个2行列的表格中,每格填一个数字,第一行填入的数字依次为, ,…, ,第二行填入的数字依次为, ,…, .记.
(Ⅰ)当时,若, , ,写出的所有可能的取值;
(Ⅱ)给定正整数.试给出, ,…, 的一组取值,使得无论, ,…, 填写的顺序如何, 都只有一个取值,并求出此时的值;
(Ⅲ)求证:对于给定的以及满足条件的所有填法, 的所有取值的奇偶性相同.
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