【题目】已知数列{an}前n项和Sn满足:2Sn+an=1
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn= ,数列{bn}的前n项和为Tn , 求证:Tn<
.
【答案】
(1)解:∵2Sn+an=1,
∴当n≥2时,2Sn﹣1+an﹣1=1,
∴2an+an﹣an﹣1=0,化为 .
当n=1时,2a1+a1=1,∴a1= .
∴数列{an}是等比数列,首项与公比都为 .
∴ .
(2)证明:bn=
=
=
= ,
∴数列{bn}的前n项和为Tn= +
+…+
= .
∴Tn< .
【解析】(1)利用递推式可得: .再利用等比数列的通项公式即可得出;(2)由(1)可得bn=
=
,;利用“裂项求和”即可得出数列{bn}的前n项和为Tn , 进而得到证明.
【考点精析】利用数列的前n项和和数列的通项公式对题目进行判断即可得到答案,需要熟知数列{an}的前n项和sn与通项an的关系;如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式.
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【题目】设关于的一元二次方程
.
(1)若是从0,1,2,3四个数中任取的一个数,
是从0,1,2三个数中任取的一个数,求上述方程有实根的概率;
(2)若时从区间
上任取的一个数,
是从区间
上任取的一个数,求上述方程有实根的概率.
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【题目】已知函数f(x)=2x+2﹣x ,
(1)判断函数的奇偶性;
(2)用函数单调性定义证明:f(x)在(0,+∞)上为单调增函数;
(3)若f(x)=52﹣x+3,求x的值.
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【题目】如图,将数字1,2,3,…, (
)全部填入一个2行
列的表格中,每格填一个数字,第一行填入的数字依次为
,
,…,
,第二行填入的数字依次为
,
,…,
.记
.
(Ⅰ)当时,若
,
,
,写出
的所有可能的取值;
(Ⅱ)给定正整数.试给出
,
,…,
的一组取值,使得无论
,
,…,
填写的顺序如何,
都只有一个取值,并求出此时
的值;
(Ⅲ)求证:对于给定的以及满足条件的所有填法,
的所有取值的奇偶性相同.
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【题目】已知椭圆(
是大于
的常数)的左、右顶点分别为
、
,点
是椭圆上位于
轴上方的动点,直线
、
与直线
分别交于
、
两点(设直线
的斜率为正数).
(Ⅰ)设直线、
的斜率分别为
,
,求证
为定值.
(Ⅱ)求线段的长度的最小值.
(Ⅲ)判断“”是“存在点
,使得
是等边三角形”的什么条件?(直接写出结果)
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【题目】已知椭圆:
,过点
作圆
的切线,切点分别为
,
,直线
恰好经过椭圆
的右顶点和上顶点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)如图,过椭圆的右焦点
作两条互相垂直的弦
,
,设
,
的中点分别为
,
,证明:直线
必过定点,并求此定点坐标.
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