【题目】已知椭圆:
,过点
作圆
的切线,切点分别为
,
,直线
恰好经过椭圆
的右顶点和上顶点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)如图,过椭圆的右焦点
作两条互相垂直的弦
,
,设
,
的中点分别为
,
,证明:直线
必过定点,并求此定点坐标.
【答案】(1)(2)直线
过点
.
【解析】试题分析:(1)先根据直线与圆相切求切线方程,再根据椭圆几何条件确定,
,(2)直线过定点问题,一般先利用特殊情况确定定点,转化为证三点共线:先联立直线
:
,与椭圆方程,利用韦达定理及中点坐标公式求
中点
(用直线AB斜率表示),同理可得
点坐标,利用两点斜率公式证三点共线.
试题解析:(Ⅰ)由切点弦方程知切线方程为,令
,则
,所以上顶点的坐标为
,
所以,令
,则
,
所以右顶点的坐标为,所以
,所以椭圆
的方程为
.
(Ⅱ)若直线,
斜率均存在,设直线
:
,
,
,
则中点.先考虑
的情形.
由得
,
由直线过点
,可知判别式
恒成立,
由韦达定理,得,故
,同理可得
.
若,得
,则直线
斜率不存在,此时直线
过点
.
另当斜率为0时,直线
也过点
.
下证动直线过定点
,
,
,
∴,即直线
过点
.
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【题目】已知数列{an}前n项和Sn满足:2Sn+an=1
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn= ,数列{bn}的前n项和为Tn , 求证:Tn<
.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,已知直线
的普通方程为
,曲线
的参数方程为
(
为参数),设直线
与曲线
交于
,
两点.
(Ⅰ)求线段的长;
(Ⅱ)已知点在曲线
上运动,当
的面积最大时,求点
的坐标及
的最大面积.
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【题目】设数列的前n项和为
,
,且对任意正整数n,点(
,
)在直线
上.
(1)求数列的通项公式;
(2)是否存在实数λ,使得数列{ }为等差数列?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由;
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【题目】自2016年下半年起六安市区商品房价不断上涨,为了调查研究六安城区居民对六安商品房价格承受情况,寒假期间小明在六安市区不同小区分别对50户居民家庭进行了抽查,并统计出这50户家庭对商品房的承受价格(单位:元/平方),将收集的数据分成,
,
,
,
五组(单位:元/平方),并作出频率分布直方图如图:
(Ⅰ)试根据频率分布直方图估计出这50户家庭对商品房的承受价格平均值(单位:元/平方);
(Ⅱ)为了作进一步调查研究,小明准备从承受能力超过4000元/平方的居民中随机抽出2户进行再调查,设抽出承受能力超过8000元/平方的居民为户,求
的分布列和数学期望.
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【题目】如图,在梯形中,
,
.
,且
平面
,
,点
为
上任意一点.
(1)求证: ;
(2)点在线段
上运动(包括两端点),若平面
与平面
所成的锐二面角为60°,试确定点
的位置.
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【题目】已知圆关于直线
对称,圆心
在第二象限,半径为
.
(Ⅰ)求圆的方程.
(Ⅱ)是否存在直线与圆
相切,且在
轴、
轴上的截距相等?若存在,写出满足条件的直线条数(不要求过程);若不存在,说明理由.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知直线的参数方程为
(
为参数,
),以坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆
的极坐标方程为
.
(Ⅰ)讨论直线与圆
的公共点个数;
(Ⅱ)过极点作直线的垂线,垂足为
,求点
的轨迹与圆
相交所得弦长.
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