Question

若数列都成立，则我们把数列称为“L型数列”．

　　(1)试问等差是否为L型数列？若是，写出对应p、q的值；若不是，说明理由．

　　(2)已知L型数列满足

　　　，

的两根，若，求证：数列是等比数列(只选其中之一加以证明即可)．

(3)请你提出一个关于L型数列的问题，并加以解决．(本小题将根据所提问题的普适性给予不同的分值，最高10分)

Answer 1

解析： (1) 等差数列都是L型数列．

　　理由　当数列，　　　

即，且相应的．                   　　   2分

　　所以等差数列是L型数列．　　　　　　　　　　　　　　

同样，当数列，　　 

即，且相应的．     　               4分

　　所以等比数列是L型数列．　　　　　　　　　　　　　  

证(2)∵，，

       ，

∴．  6分

．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8分

　　，　　　　　　　　　　　　　　　　　

    ∴数列．　　10分

(同理可证，数列)

 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　

  (3)下面仅提供本小题提问涉及的可能情况和评分指导意见，若考生提出的问题与下列情况不同，则可根据问题的普适性分别归在下面某个层面加以评分．

第一层面的问题　(给予0分)

(1)  提出等差数列、等比数列是L型数列的问题．(本大题的第一问已经解决)

(2)  判断一个数列不是L型数列的问题．(不符合题意要求)

 

第二层面的问题　(给予4分，可得提出问题2分，解答问题2分)

(1)  提出并解决：已知数列是等差数列，则是L型数列．

(2)  提出并解决：

已知数列是等比数列，则数列是L型数列．

第三层面的问题　(给予6分，可得提出问题3分，解答问题3分)

(1)提出并解决：求本大题第二问中数列的通项公式(或前n项和公式)问题.

(2) 提出并解决：

已知数列是等差数列，则是L型数列．

(3)  提出并解决：求某个特殊L型数列的通项公式(或前n项和公式)问题.

(4)  提出并解决：已知数列是L型数列，则是L型数列．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

第四层面的问题　(给予8分，可得提出问题4分，解答问题4分)

(1) 提出并解决：求某类L型数列的通项公式(或前n项和公式)问题(这里主要指按).

(2) 提出并解决：求Fibonacci数列的通项公式问题(把该问题列入这一层面，主要是鼓励学生利用及时学习的新知识解决熟悉的著名数列的有关问题)．

第五层面的问题　(给予10分，可得提出问题2分，解答问题8分)

(1)提出并解决：求一般L型数列的通项公式的问题.

(2)提出并解决：求一般L型数列的前n项和公式的问题．

【第五层面问题中的(1)的样例】

问题  已知L型数列

，求通项公式.

解  设的两根. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

    ①若

，于是，().

②若

 　  ，又，

所以的等差数列．

因此，．

综上所述，若的两个不等根时，L型数列的通项公式为()；若的两个等根时，数列的通项公式为．