Question

16．三棱锥P-ABC中，底面△ABC满足BA=BC，$∠ABC=\frac{π}{2}$，P在面ABC的射影为AC的中点，且该三棱锥的体积为$\frac{9}{2}$，当其外接球的表面积最小时，P到面ABC的距离为（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． $2\sqrt{3}$
• D． $3\sqrt{3}$

Answer 1

分析 设AB=a，棱锥的高为h，根据体积得出a与h的关系，根据勾股定理得出外接球半径R关于h的表达式，利用基本不等式得出R最小值时对应的h的值即可．

解答 解：设AC的中点为D，连接BD，PD，则PD⊥平面ABC，
∵△ABC是等腰直角三角形，∴外接球的球心O在PD上，
设AB=BC=a，PD=h，外接球半径OC=OP=R，
则OD=h-R，CD=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∵V_P-ABC=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•h$=$\frac{1}{3}•\frac{1}{2}{a}^{2}•h$=$\frac{9}{2}$，∴a²=$\frac{27}{h}$，
∵CD²+OD²=OC²，即（h-R）²+$\frac{1}{2}$a²=R²，
∴R=$\frac{{h}^{2}+\frac{1}{2}{a}^{2}}{2h}$=$\frac{h}{2}+\frac{27}{4{h}^{2}}$=$\frac{h}{4}+\frac{h}{4}+\frac{27}{4{h}^{2}}$≥3$\root{3}{\frac{27}{64}}$=$\frac{9}{4}$，
当且仅当$\frac{h}{4}=\frac{h}{4}=\frac{27}{4{h}^{2}}$即h=3时取等号，
∴当外接球半径取得最小值时，h=3．
故选：B．

点评 本题考查了棱锥的结构特征，棱锥与球的位置关系，属于中档题．