Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为AD₁、CD₁的中点．
（1）求证：EF∥平面ABCD；
（2）求两异面直线BD与CD₁所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）利用三角形的中位线性质，证明EF∥AC，再利用线面平行的判定可得EF∥平面ABCD；
（2）利用异面直线所成角的定义，作平行线，可得异面直线所成的角，再求解即可．

解答：解：（1）连接AC，∵E、F分别为AD₁、CD₁的中点，∴EF∥AC，
EF?平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD．
（2）连接B₁D₁，B₁C，
∵BD∥B₁D₁，∴∠B₁D₁C为两异面直线BD与CD₁所成的角，
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁
∴B₁D₁=B₁C=CD₁，∴∠B₁D₁C=

π

3

，
∴两异面直线BD与CD₁所成角的大小为

π

3

．

点评：本题考查线面平行的判定及异面直线所成角的求法，通过作平行线作出异面直线所成的角是关键．