【题目】①若直线与曲线
有且只有一个公共点,则直线
一定是曲线
的切线;
②若直线与曲线
相切于点
,且直线
与曲线
除点
外再没有其他的公共点,则在点
附近,直线
不可能穿过曲线
;
③若不存在,则曲线
在点
处就没有切线;
④若曲线在点
处有切线,则
必存在.
则以上论断正确的个数是( )
A.0个B.1个C.2个D.3个
【答案】B
【解析】
根据导数的定义,瞬时变化率的概念,以及导数的几何意义,逐项判定,即可求解.
对于①中,根据函数在点处的切线定义:在曲线的某点
附近取点
,并使
沿曲线不断接近
,这样直线
的极限位置就是曲线在点
的切线. 直线
与曲线
有且只有一个公共点,但直线
不是切线.注:曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个,例
是正弦曲线
的切线,但切线
与曲线
有无数多个公共点,所以不正确;
对于②中,根据导数的定义:
(1)导数:,
(2)左导数:,
(3)右导数:,
函数在点
处可导当且仅当函数
在点
处的左导数和右导数都存在,且相等. 例如三次函数
在
处的切线
,所以不正确;
对于③中,切线与导数的关系:
(1)函数在
处可导,则函数
在
处切线一定存在,切线方程为
(2)函数在
处不可导,函数
在
处切线可能存在,可能不存在,所以不正确;
对于④中,根据导数的几何意义,可得曲线在点
处有切线,则
必存在,所以是正确的.
故选:B.
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【题目】某单位为了响应疫情期间有序复工复产的号召,组织从疫区回来的甲、乙、丙、丁4名员工进行核酸检测,现采用抽签法决定检测顺序,在“员工甲不是第一个检测,员工乙不是最后一个检测”的条件下,员工丙第一个检测的概率为( )
A.B.
C.
D.
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【题目】某港湾的平面示意图如图所示,、
、
分别是海岸线
、
上的三个集镇,
位于
的正南方向
处,
位于
的北偏东
方向
处.随着经济的发展,为缓解集镇
的交通压力,拟在海岸线
、
上分别修建码头
、
,开辟水上航线,勘测时发现:以
为圆心,
为半径的扇形区域为浅水区,不适宜船只航行.
(1)能否求出集镇、
间的直线距离?
(2)根据勘测要求,要使、
之间的直线航线最短,直线
与圆
应满足什么关系?
(3)应怎样确定码头、
的位置,才能使得
、
之间的直线航线最短?
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【题目】如图,已知圆O:和点
,由圆O外一点P向圆O引切线
,Q为切点,且有
.
(1)求点P的轨迹方程,并说明点P的轨迹是什么样的几何图形?
(2)求的最小值;
(3)以P为圆心作圆,使它与圆O有公共点,试在其中求出半径最小的圆的方程.
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【题目】已知椭圆E: ,对于任意实数k,下列直线被椭圆E截得的弦长与l:y=kx+1被椭圆E截得的弦长不可能相等的是( )
A. kx+y+k=0 B. kx-y-1=0
C. kx+y-k=0 D. kx+y-2=0
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【题目】给定空间中十个点,其中任意四点不在一个平面上,将某些点之间用线段相连,若得到的图形中没有三角形也没有空间四边形,试确定所连线段数目的最大值.
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【题目】如图①所示的等边三角形的边长为
,
是
边上的高,
,
分别是
边的中点现将
沿
折叠,使平面
平面
,如图②所示.
① ②
(1)试判断折叠后直线与平面
的位置关系,并说明理由;
(2)求四面体外接球的体积与四棱锥
的体积之比.
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【题目】如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点.
(Ⅰ)证明: BC1//平面A1CD;
(Ⅱ)设AA1= AC=CB=2,AB=2,求三棱锥C一A1DE的体积.
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【题目】在抗击新型冠状病毒肺炎期间,为响应政府号召,郴州市某单位组织了志愿者30人,其中男志愿者18人,用分层抽样的方法从该单位志愿者中抽取5人去参加某社区的防疫帮扶活动.
(1)求从该单位男、女志愿者中各抽取的人数;
(2)从抽取的5名志愿者中任选2名谈此活动的感受,求选出的2名志愿者中恰有1名男志愿者的概率.
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