【题目】如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点.
(Ⅰ)证明: BC1//平面A1CD;
(Ⅱ)设AA1= AC=CB=2,AB=2,求三棱锥C一A1DE的体积.
【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)
【解析】
试题(Ⅰ)连接AC1交A1C于点F,则DF为三角形ABC1的中位线,故DF∥BC1.再根据直线和平面平行的判定定理证得BC1∥平面A1CD.(Ⅱ)由题意可得此直三棱柱的底面ABC为等腰直角三角形,由D为AB的中点可得CD⊥平面ABB1A1.求得CD的值,利用勾股定理求得A1D、DE和A1E的值,可得A1D⊥DE.进而求得S△A1DE的值,再根据三棱锥C-A1DE的体积为S△A1DECD,运算求得结果
试题解析:(1)证明:连结AC1交A1C于点F,则F为AC1中点又D是AB中点,
连结DF,则BC1∥DF. 3分
因为DF平面A1CD,BC1不包含于平面A1CD, 4分
所以BC1∥平面A1CD. 5分
(2)解:因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱,所以AA1⊥CD.由已知AC=CB,D为AB的中点,所以CD⊥AB.又AA1∩AB=A,于是CD⊥平面ABB1A1. 8分
由AA1=AC=CB=2,得∠ACB=90°,,,,A1E=3,故A1D2+DE2=A1E2,即DE⊥A1D 10分
所以三菱锥C﹣A1DE的体积为:==1. 12分
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【题目】已知,设实数、、、、、满足
(i)、、且不全为0;
(ii)、、;
(iii)若,则.
若所有形如和的数均不为2014的倍数,则称集合为“好集”.求好集所含元素个数的最大值.
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【题目】已知正方形ABCD的边长为2,AC∩BD=O.将正方形ABCD沿对角线BD折起,使AC=a,得到三棱锥A-BCD,如图所示.
(1)当a=2时,求证:AO⊥平面BCD.
(2)当二面角A-BD-C的大小为120°时,求二面角A-BC-D的正切值.
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【题目】某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件:①男生人数多于女生人数;②女生人数多于教师人数;③教师人数的两倍多于男生人数.问:
(1)若教师人数为4,则女生人数的最大值为多少?
(2)该小组人数的最小值为多少?
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【题目】如图,长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,DA=DC=2,,E是C1D1的中点,F是CE的中点.
(1)求证:EA∥平面BDF;
(2)求证:平面BDF⊥平面BCE;
(3)求二面角D﹣EB﹣C的正切值.
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