Question

已知函数f（x）=

4x2-7

2-x

，求函数f（x）在x∈[0，1]上的值域．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：令t=2-x，则x=2-t，原函数变为f（t）=

4(2-t)2-7

t

=4t+

9

t

-16，求导用导数求最值．

解答： 解：令t=2-x，则x=2-t，∵x∈[0，1]，∴t∈[1，2]
原函数变为f（t）=

4(2-t)2-7

t

=4t+

9

t

-16，且f（1）=-3、f（2）=-

7

2

∴f′(t)=4-

9

t2

=

4(t+ 3 2 )(t- 3 2 )

t2

∴t∈[1，

3

2

]时，f′（t）＜0，函数f（t）在[1，

3

2

]上递减；t∈[

3

2

，2]时，f′（t）＞0，函数f（t）在[

3

2

，2]上递增；
∴当t=

3

2

时，函数取最小值，∴f_最小值=4×

3

2

+

9

3 2

-16=-4，
当t=1时，函数取最大值，∴f_最大值=-3．
∴原函数的值域为[-4，-3]

点评：本题主要考查求值域的方法，换元法是经常被采用的方法，此题同时考查导数的应用，注意导数与函数单调性之间的关系．