Question

已知函数f（x）=bx²+cx满足f（1）=0，且b²+c²≠0．若方程f（x）•[（f（x）²+bf（x）+c]=0恰有两个不相等的实数根，则正实数c的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：方程f（x）•[（f（x）²+bf（x）+c]=0恰有两个不相等的实数根，则实根只能是0和1，故（f（x）²+bf（x）+c=0无实根，进而可得正实数c的取值范围．

解答： 解：∵函数f（x）=bx²+cx满足f（1）=0，c＞0，
故b=-c＜0，
则当x=

1

2

时，函数f（x）=bx²+cx有最大值

1

4

c2
若b²-4c＜0，即c²-4c＜0，即0＜c＜4时，（f（x）²+bf（x）+c=0无解，
此时方程f（x）•[（f（x）²+bf（x）+c]=0恰有两个不相等的实数根0，1，满足条件；
若b²-4c≥0，即c²-4c≥0，即c≥4时，
由方程f（x）•[（f（x）²+bf（x）+c]=0恰有两个不相等的实数根，
故

-b± b2-4c

2

=

c± c2-4c

2

∉（-∞，

1

4

c2]，
即

c- c2-4c

2

＞

1

4

c2，此时不等式无解，
综上所述，正实数c的取值范围为0＜c＜4，
故答案为：0＜c＜4

点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中正确理解（f（x）²+bf（x）+c=0无实根，是解答的关键．