Question

已知椭圆：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上任意一点到两焦点F₁，F₂距离之和为2

3

，离心率为

3

3

，动点P在直线x=3上，过F₂作直线PF₂的垂线l，设l交椭圆于Q点．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值．

Answer 1

考点：椭圆的标准方程,直线的斜率

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由条件得：

2a=2 3 e= c a = 3 3 a2=b2+c2

，由此能求出椭圆E的方程．
（2）设P（3，y₀），Q（x₁，y₁），由已知得2（x₁-1）+y₀y₁=0，由此能证明直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值-

2

3

．

解答： （1）解：由条件得：

2a=2 3 e= c a = 3 3 a2=b2+c2

，
解得：a=

3

，c=1，b=

2

，
∴椭圆E：

x2

3

+

y2

2

=1．（5分）
（2）证明：设P（3，y₀），Q（x₁，y₁），
∵PF₂⊥F₂Q，∴

PF2

•

F2Q

=0，
即：2（x₁-1）+y₀y₁=0，（7分）
又∵KPQKOQ=

y1

x1

•

y1-y0

x1-3

=

y 2 1 -y1y0

x 2 1 -3x1

，且

y

2 1

=2(1-

x 2 1

3

)，（10分）
代入化简得：KPQKOQ=-

2

3

，
∴直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值-

2

3

．（12分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查两直线的斜率之积为定值的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．