Question

15．为了解某市高三学生身高情况，对全市高三学生进行了测量，经分析，全市高三学生身高X（单位：cm）服从正态分布N（160，ξ²），已知P（X＜150）=0.2，P（X≥180）=0.03．
（1）现从该市高三学生中随机抽取一位学生，求该学生身高在区间[170，180）的概率；
（2）现从该市高三学生中随机抽取三位学生，记抽到的三位学生身高在区间[150，170）的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．

Answer 1

分析 （1）根据身高X服从正态分布N（160，ξ²），计算出P（170≤X＜180）的值即可；
（2）求出P（150≤X＜170）的值，由ξ服从二项分布B（3，0.6），求出对应的概率值，得出随机变量ξ的分布列，计算Eξ即可．

解答 解：（1）全市高三学生身高X（单位：cm）服从正态分布N（160，ξ²），
已知P（X＜150）=0.2，
P（160≤x＜170）=P（150≤X＜160）=0.5-0.2=0.3，
P（X≥180）=0.03；
所以P（170≤X＜180）=0.5-0.3-0.03=0.17；
故从该市高三学生中随机抽取一位学生，求该学生身高在区间[170，180）的概率为0.17；
（2）P（150≤X＜170）=P（150≤X＜160）+P（160≤X＜170）=0.3+0.3=0.6，
所以ξ服从二项分布B（3，0.6），
P（ξ=0）=（1-0.6）³=0.064，
P（ξ=1）=3×0.6×（1-0.6）²=0.228，
P（ξ=2）=3×0.6²×（1-0.6）=0.432，
P（ξ=3）=0.6³=0.216，
所以随机变量ξ的分布列是

ξ	0	1	2	3
P	0.064	0.288	0.432	0.216

Eξ=3×0.6=1.8（人）．

点评 本题考查了离散型随机就是的分布列和数学期望的应用问题，解题时要注意二项分布的性质的合理运用，是中档题目．