Question

已知椭圆C上的点P（1，

2

2

）到左、右焦点F₁，F₂的距离之和为2

2

．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点（0．-

1

3

）的直线l交椭圆C于A，B两点，求证：以AB为直径的圆恒过一定点（其坐标与直线l的位置无关）．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），由已知得

2a=2 2 1 a2 + 1 2b2 =1

，由此能求出椭圆C的标准方程．
（2）设直线方程为y+

1

3

=kx，代入椭圆方程得

x2

2

+y2=1，得（1+2k²）x²-

4

3

kx-

16

9

=0，由此利用韦达定理、圆的性质结合已知条件能证明以AB为直径的圆恒过一定点（0，1）．

解答： （1）解：∵椭圆C上的点P（1，

2

2

）到左、右焦点F₁，F₂的距离之和为2

2

，
∴设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），
且

2a=2 2 1 a2 + 1 2b2 =1

，
解得a=

2

，b=1，
∴椭圆C的标准方程为

x2

2

+y2=1．
（2）证明：设直线方程为y+

1

3

=kx
代入椭圆方程得

x2

2

+y2=1，得x²+2（kx-

1

3

）²=2
（1+2k²）x²-

4

3

kx-

16

9

=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x1+x2=

4k

3(1+2k2)

，x1•x2=-

16

9(1+2k2)

，①
以AB为直径的圆为：（x-x₁）（x-x₂）+（y-y₁）（y-y₂）=0，②
把①代入②，得18（x²+y²-1）k²-12kx+9x²+9y²+6y-15=0对任意k恒成立，
则

x2+y2-1=0 -12kx=0 9x2+9y2+6y-15=0

，解得x=0，y=1，
∴以AB为直径的圆恒过一定点（0，1）．

点评：本题考查椭圆的标准方程的求法，考查圆恒过定点的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．