Question

设f（x）是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x₁，x₂∈（0，1）且x₁+x₂≤1，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）f（x₂），f（x₁）＞0，f（x₂）＞0，f（1）=2．
（1）求f(

1

2

)，f(

1

3

)；
（2）若an=f(2n+

1

n

)，n∈N*，求数列{n²lg|a_n|}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）根据对任意x₁，x₂∈（0，1）且x₁+x₂≤1，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）f（x₂），利用赋值法，即可求得结论；
（2）根据f(1)=f(n×

1

n

)=[f(

1

n

)]ⁿ=2，可得f(

1

n

)=2

1

n

，根据f（x）是定义在R上的奇函数，图象关于直线x=1对称，可得4是函数f（x）的周期，从而可得数列通项，进而可求数列的和．

解答：解：（1）因为对任意x₁，x₂∈（0，1）且x₁+x₂≤1，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）f（x₂），
所以f（1）=f（

1

2

+

1

2

）=f（

1

2

）•f（

1

2

）=2
因为f（x₁）＞0，f（x₂）＞0，所以f（

1

2

）=

2

∵f（1）=f（

1

3

+

2

3

）=f（

1

3

）•f（

2

3

）=f（

1

3

）•f（

1

3

）•f（

1

3

）=2
∴f（

1

3

）=2

1

3

（2）∵f(1)=f(n×

1

n

)=[f(

1

n

)]ⁿ=2，
∴f(

1

n

)=2

1

n

∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（-x）=-f（x）
∵图象关于直线x=1对称，∴f（-x）=f（2+x）
∴f（x+2）=-f（x）
∴f（x+4）=f（x）
∴4是函数f（x）的周期
∴an=f(2n+

1

n

)=

f( 1 n )，n为偶数 -f( 1 n )，n为奇数

=

2 1 n ，n为偶数 -2 1 n ，n为奇数

，
∴n²lg|a_n|=nlg2
∴前n项和S_n=lg2（1+2+…+n）=

n(n+1)

2

lg2

点评：本题考查了抽象函数和函数性质的综合应用．抽象函数往往是通过对自变量合理的赋值来解决问题；函数周期性、奇偶性、对称性三者之间具有知二求一的关系．