Question

6．已知函数f（x）是定义域为（0，+∞）的单调函数，若对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-$\frac{1}{x}$]=2，则f（2016）=（　　）

• A． $\frac{1}{2016}$
• B． $\frac{2015}{2016}$
• C． $\frac{2017}{2016}$
• D． $\frac{4033}{2016}$

Answer 1

分析 由条件f（x）是定义域为（0，+∞）的单调函数以及f[f（x）-$\frac{1}{x}$]=2，可知f（x）-$\frac{1}{x}$等于常数a，即f（x）=$\frac{1}{x}+a$，再利用f（a）=2，解出a=1，故f（x）=$\frac{1}{x}$+1，代入x=2016，即可计算出答案．

解答 ∵f（x）是定义域为（0，+∞）的单调函数，
∴存在唯一的正实数a，使得f（a）=2，
∵对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-$\frac{1}{x}$]=2，
∴f（x）-$\frac{1}{x}$=a，即f（x）=$\frac{1}{x}$+a，
∵f（a）=2，∴$\frac{1}{a}$+a=2，得a=1（舍负），
∴f（x）=$\frac{1}{x}+1$，
∴f（2016）=$\frac{1}{2016}$+1=$\frac{2017}{2016}$．
故选C．

点评 本题考查了函数的单调性，并利用函数的单调性确定f（x）-$\frac{1}{x}$等于常数a是解决本题关键，再利用f（a）=2求出函数的解析式，从而解决问题．