Question

【题目】已知，点在第一象限，以为直径的圆与轴相切，动点的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）若曲线在点处的切线的斜率为，直线的斜率为，求满足的点的个数.

Answer 1

【答案】（1）；（2）2

【解析】

（1）设，利用以为直径的圆与轴相切列方程可得：，整理可得：，问题得解.

（2）设，利用导数求得：，结合及可得：，构造函数：并利用导数知识可判断在内有且只有两个零点，问题得解.

（1）设，

又，则中点坐标为，

因为以为直径的圆与轴相切，

所以，即，

整理，得的方程为.

（2）由，得，，

设，

则，

由，即，得（*），

令，

由，得，或，

因为当时，，当时，，

所以在上递减，在上递增，

又的图象连续不断

所以在内有且只有两个零点，

所以方程（*）有且只有两个不同的正根，

所以满足的点的个数为2.