Question

【题目】小明下班回家途经3个有红绿灯的路口，交通法规定：若在路口遇到红灯，需停车等待；若在路口没遇到红灯，则直接通过.经长期观察发现：他在第一个路口遇到红灯的概率为，在第二、第三个道口遇到红灯的概率依次减小，在三个道口都没遇到红灯的概率为，在三个道口都遇到红灯的概率为，且他在各路口是否遇到红灯相互独立.

（1）求小明下班回家途中至少有一个道口遇到红灯的概率；

（2）求小明下班回家途中在第三个道口首次遇到红灯的概率；

（3）记为小明下班回家途中遇到红灯的路口个数，求数学期望.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）根据对立事件的概率关系结合已知，即可求解；

（2）设第二、三个道口遇到红灯的概率分别为，根据已知列出关于方程组，求得，即可求出结论；

（3）的可能值为分别求出概率，得出随机变量的分布列，由期望公式，即可求解.

（1）因为小明在三个道口都没遇到红灯的概率为，

所以小明下班回家途中至少有一个道口遇到红灯的概率为；

（2）设第二、三个道口遇到红灯的概率分别为，

依题意解得或（舍去），

所以小明下班回家途中在第三个道口首次遇到红灯的概率；

（3）的可能值为，

，

，

，

，

分布列为