【题目】如图,四棱锥的底面是直角梯形,, ,,, 且,,
(1)证明:平面;
(2)求点到平面的距离;
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)取的三等分点,法一,利用线面平行的判定定理证明.法二,利用面面平行判定定理证明;
(2)法一,利用等积转换即,即可求得,法二,利用空间向量法,求点到面的距离.
(1)解法一:取的三等分点,连结,则
又因为,所以且,
因为且,所以且,
四边形是平行四边形,
所以,
又平面平面 ,平面 ,
所以平面 .
解法二:取的三等分点,连结,则,
又因为,
所以且,平面 , 平面,
平面,
因为且,所以且,
四边形是平行四边形.
所以,平面,平面,
平面,
又因为,平面,
所以平面平面,
又因为平面,
所以平面.
(2)解法一:设点到平面的距离为.
因为,,所以,
所以,,因为,所以平面,
点平面的距离是,,
,
,
因为,所以,
点到平面的距离为.
解法二:设点到平面的距离为.
因为,,所以
所以,,因为,所以平面,
分别以为轴轴轴,建立空间坐标系,
’,
设平面法向量,
因为,所以,
设与平面所成角为, 则
点到平面的距离,
点到平面的距离为 .
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【题目】从中国教育在线官方公布的考研动机调查来看,本科生扎堆考研的原因大概集中在这6个方面:本科就业压力大,提升竞争力;通过考研选择真正感兴趣的专业;为了获得学历;继续深造;随大流;有名校情结.如图是2015~2019年全国硕士研究生报考人数趋势图(单位:万人)的拆线图.
(1)求关于的线性回归方程;
(2)根据(1)中的回归方程,预测2021年全国硕士研究生报考人数.
参考数据:;
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为,.
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【题目】已知直线x=﹣2上有一动点Q,过点Q作直线l,垂直于y轴,动点P在l1上,且满足(O为坐标原点),记点P的轨迹为C.
(1)求曲线C的方程;
(2)已知定点M(,0),N(,0),点A为曲线C上一点,直线AM交曲线C于另一点B,且点A在线段MB上,直线AN交曲线C于另一点D,求△MBD的内切圆半径r的取值范围.
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【题目】随着“北京八分钟”在韩国平昌冬奥会惊艳亮相,冬奥会正式进入了北京周期,全社会对冬奥会的热情空前高涨.
(1)为迎接冬奥会,某社区积极推动冬奥会项目在社区青少年中的普及,并统计了近五年来本社区冬奥项目青少年爱好者的人数(单位:人)与时间(单位:年),列表如下:
依据表格给出的数据,是否可用线性回归模型拟合与的关系,请计算相关系数并加以说明(计算结果精确到0.01).
(若,则线性相关程度很高,可用线性回归模型拟合)
附:相关系数公式,参考数据.
(2)某冰雪运动用品专营店为吸引广大冰雪爱好者,特推出两种促销方案.
方案一:每满600元可减100元;
方案二:金额超过600元可抽奖三次,每次中奖的概率同为 ,且每次抽奖互不影响,中奖1次打9折,中奖2次打8折,中奖3次打7折. v
两位顾客都购买了1050元的产品,并且都选择第二种优惠方案,求至少有一名顾客比选择方案一更优惠的概率;
②如果你打算购买1000元的冰雪运动用品,请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案.
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【题目】微信是现代生活信息交流的重要工具,随机对使用微信的人进行统计,得到如下数据统计表,每天使用微信时间在两小时以上的人被定义为“微信依赖”,不超过两小时的人被定义为“非微信依赖”,已知“非微信依赖”与“微信依赖”人数比恰为.
使用微信时间(单位:小时) | 频数 | 频率 |
5 | 0.05 | |
15 | 0.15 | |
15 | 0.15 | |
30 | 0.30 | |
合计 | 100 | 1.00 |
(1)确定的值;
(2)为进一步了解使用微信对自己的日常工作和生活是否有影响,从“微信依赖”和“非微信依赖”人中用分层抽样的方法确定人,若需从这人中随机选取人进行问卷调查,设选取的人中“微信依赖”的人数为,求的分布列;
(3)求选取的人中“微信依赖”至少人的概率.
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【题目】华罗庚中学高二排球队和篮球队各有10名同学,现测得排球队10人的身高(单位:)分别是:162、170、171、182、163、158、179、168、183、168,篮球队10人的身高(单位:)分别是:170、159、162、173、181、165、176、168、178、179.
(1)请根据两队身高数据作出茎叶图,并分析指出哪个队的身高数据方差较小(无需计算)以及排球队的身高数据的中位数与众数;
(2)现从两队所有身高超过的同学中随机抽取三名同学,则恰好两人来自排球队一人来自篮球队的概率是多少?
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【题目】小明下班回家途经3个有红绿灯的路口,交通法规定:若在路口遇到红灯,需停车等待;若在路口没遇到红灯,则直接通过.经长期观察发现:他在第一个路口遇到红灯的概率为,在第二、第三个道口遇到红灯的概率依次减小,在三个道口都没遇到红灯的概率为,在三个道口都遇到红灯的概率为,且他在各路口是否遇到红灯相互独立.
(1)求小明下班回家途中至少有一个道口遇到红灯的概率;
(2)求小明下班回家途中在第三个道口首次遇到红灯的概率;
(3)记为小明下班回家途中遇到红灯的路口个数,求数学期望.
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【题目】已知数列中,对任何正整数n都有:
(1)若数列是首项和公差都是1的等差数列,求证:数列是等比数列;
(2)若数列是首项为1的等比数列,数列是否是等差数列?若是请求出通项公式.
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