Question

在平面直角坐标系中，点到两定点F₁和F₂的距离之和为，设点的轨迹是曲线.(1)求曲线的方程；   (2)若直线与曲线相交于不同两点、(、不是曲线和坐标轴的交点)，以为直径的圆过点，试判断直线是否经过一定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由.

Answer 1

解：解：(1)设，由椭圆定义可知，

点的轨迹是以和为焦点，长半轴长为2的椭圆．

它的短半轴长，故曲线的方程为： 

（2）设．

联立   消去y，整理得，

则 

又．

因为以为直径的圆过点，，即．

．

．

．                    

解得：，且均满足．

当时，的方程，直线过点，与已知矛盾；

当时，的方程为，直线过定点．

所以，直线过定点，定点坐标为．