Question

10．设函数f（x）=cos2ωx-2cos²（ωx+$\frac{π}{4}$）（ω＞0）的最小正周期T=π．
（Ⅰ）当$x∈[0，\frac{π}{2}]$时，求f（x）的值域；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（C）=0，acosB+bcosA=$\frac{1}{2}{c^2}$，a=$\sqrt{2}$，求b．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求出ω，最后将内层函数看作整体，当$x∈[0，\frac{π}{2}]$时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的取值最大和最小值，即得到f（x）的值域．
（Ⅱ）利用f（C）=0求出角C的大小．在利用正弦定理可求b．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=cos2ωx-2cos²（ωx+$\frac{π}{4}$）（ω＞0）的化简可得：$f（x）=cos2ωx-[1+cos（2ωx+\frac{π}{2}）]$=cos2ωx+sin2ωx-1=$\sqrt{2}sin（2ωx+\frac{π}{4}）-1$．
∵函数f（x）的最小正周期T=π．
由$T=\frac{2π}{2ω}=π$，得ω=1，
∴$f（x）=\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）-1$，
当$x∈[0，\frac{π}{2}]$时，
$2x+\frac{π}{4}∈[\frac{π}{4}，\frac{5π}{4}]$，
那么：$sin（2x+\frac{π}{4}）∈[-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1]$，
∴函数f（x）的值域为$[-2，\sqrt{2}-1]$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得$f（x）=\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）-1$，
∵$f（C）=\sqrt{2}sin（2C+\frac{π}{4}）-1=0$，
化简得：$sin（2C+\frac{π}{4}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
又∵0＜C＜π，
∴$2C+\frac{π}{4}=\frac{3π}{4}$，
∴$C=\frac{π}{4}$
∵$acosB+bcosA=\frac{1}{2}{c^2}$，
由正弦定理，得$sinAcosB+sinBcosA=\frac{1}{2}csinC$；
∴$sin（A+B）=\frac{1}{2}csinC$，即$sinC=\frac{1}{2}csinC$；
又sinC＞0，∴c=2．
∴$sinA=\frac{asinC}{c}=\frac{{\sqrt{2}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}}}{2}=\frac{1}{2}$
∵a＜c，∴$0＜A＜\frac{π}{4}$，$A=\frac{π}{6}$
∴$b=\frac{asinB}{sinA}=\frac{{\sqrt{2}sin（\frac{π}{4}+\frac{π}{6}）}}{{\frac{1}{2}}}=1+\sqrt{3}$．

点评 本题考查了三角函数的化简能力以及性质的运用计算能力，同时考查了正弦定理的运用能力．属于基础题．