Question

6．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，满足c=1，cosBsinC-（a-sinB）cosC=0．
（1）求C的大小；
（2）求a²+b²的最大值，并求取得最大值时角A，B的值．

Answer 1

分析 （1）利用两角和的正弦函数和诱导公式化简，结合正弦定理和同角的商数关系，即可求得C；
（2）由余弦定理以及基本不等式求解，最值即可求得．

解答 解：（1）cosBsinC-（a-sinB）cosC=0，
即有sinBcosC+cosBsinC=acosC，
即sin（B+C）=acosC，
即sinA=acosC．
由正弦定理可知：$\frac{a}{sinA}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{1}{cosC}$，
由于c=1，则sinC=cosC，
即tanC=1，C是三角形内角，
∴C=$\frac{π}{4}$．
（2）由余弦定理可知：c²=a²+b²-2abcosC，
得1=a²+b²-$\sqrt{2}$ab，
又ab≤$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$，
∴（1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）（a²+b²）≤1，
即a²+b²≤2+$\sqrt{2}$．
当且仅当a=b即A=B=$\frac{3π}{8}$时，a²+b²取到最大值为2+$\sqrt{2}$．

点评 本题考查三角形的最值，余弦定理的应用，正弦定理的应用，考查计算能力．