Question

18．函数y=$\sqrt{{x}^{2}+2x+2}$-$\sqrt{{x}^{2}-3x+3}$达到最大值时，x的值是（　　）

• A． 5+9$\sqrt{3}$
• B． 9+5$\sqrt{3}$
• C． 5$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{2}$+5$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 原式可化为$y=\sqrt{（x+1）^{2}+（0-1）^{2}}-\sqrt{（x-\frac{3}{2}）^{2}+（{0-\frac{\sqrt{3}}{2}）}^{2}}$，该式表示的是x轴上的点P（x，0）到定点A（-1，1）与点B（$\frac{3}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$）的距离之差，当P，A，B三点共线时可得所求的最大值．然后直线AB与x轴的交点即为所求．

解答 解：由题意得$y=\sqrt{（x+1）^{2}+（0-1）^{2}}-\sqrt{（x-\frac{3}{2}）^{2}+（{0-\frac{\sqrt{3}}{2}）}^{2}}$，
该式表示的是x轴上的点P（x，0）到定点A（-1，1）与点B（$\frac{3}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$）的距离之差，在坐标系内作出这几个点可知：

当P，A，B三点共线时可得所求的最大值．然后直线AB与x轴的交点即为所求．
如图设P（x，0），则$\overrightarrow{AB}=（\frac{5}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}-1）$，$\overrightarrow{PA}=（-1-x，1）$．
由题意$\overrightarrow{AB}∥\overrightarrow{PA}$，所以$\frac{5}{2}-（\frac{\sqrt{3}}{2}-1）（-1-x）=0$．
解得x=9+5$\sqrt{3}$．
故选：B．

点评 本题考查了利用函数几何意义求最值的问题，关键在于准确理解有关距离、斜率、夹角等的表达形式，从而求解．