Question

10．已知椭圆C₁：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左右顶点是双曲线C₂：$\frac{x^2}{3}-{y^2}$=1的顶点，且椭圆C₁的上顶点到双曲线C₂的渐近线的距离为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆C₁的方程；
（Ⅱ）若直线l与C₁相交于M₁，M₂两点，与C₂相交于Q₁，Q₂两点，且$\overrightarrow{O{Q_1}}•\overrightarrow{O{Q_2}}$=-5，求|M₁M₂|的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由双曲线的顶点可得a²=3，求出双曲线的渐近线方程，运用点到直线的距离公式可得b=1，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）设出直线l的方程，联立双曲线方程，消去y，运用韦达定理和判别式大于0，结合向量的数量积的坐标表示，求得m，k的关系式，再由直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，计算即可得到所求范围．

解答 解：（Ⅰ）由题意可知：a²=3，
又椭圆C₁的上顶点为（0，b），
双曲线C₂的渐近线为：$y=±\frac{{\sqrt{3}}}{3}x?x±\sqrt{3}y=0$，
由点到直线的距离公式有：$\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{|{±\sqrt{3}b}|}}{2}⇒b=1$，
所以点M的轨迹C₁的方程为：$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$．           
（Ⅱ）易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+m，
代入$\frac{x^2}{3}-{y^2}=1$，消去y并整理得：（1-3k²）x²-6kmx-3m²-3=0，
要与C₂相交于两点，则应有：$\left\{\begin{array}{l}1-3{k^2}≠0\\ 36{k^2}{m^2}-4（1-3{k^2}）（-3{m^2}-3）＞0\end{array}\right.$$⇒\left\{\begin{array}{l}1-3{k^2}≠0\\{m^2}+1＞3{k^2}\end{array}\right.$…①，
设Q₁（x₁，y₁）、Q₂（x₂，y₂），则有：${x_1}+{x_2}=\frac{6km}{{1-3{k^2}}}$，${x_1}•{x_2}=\frac{{-3{m^2}-3}}{{1-3{k^2}}}$．
又$\overrightarrow{O{Q_1}}•\overrightarrow{O{Q_2}}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}$=x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=$（1+{k^2}）{x_1}{x_2}+km（{x_1}+{x_2}）+{m^2}$，
又：$\overrightarrow{O{Q_1}}•\overrightarrow{O{Q_2}}=-5$，所以有：$\frac{1}{{1-3{k^2}}}[（1+{k^2}）（-3{m^2}-3）+6{k^2}{m^2}+{m^2}（1-3{k^2}）]=-5$
⇒m²=1-9k²…②，
将y=kx+m，代入$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$，消去y并整理得：（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0，
要有两交点，则△=36k²m²-4（1+3k²）（3m²-3）＞0⇒3k²+1＞m²…③
由①②③有：$0＜{k^2}≤\frac{1}{9}$．            
设M₁（x₃，y₃）、M₂（x₄，y₄），则有：${x_3}+{x_4}=\frac{-6km}{{1+3{k^2}}}$，${x_3}•{x_4}=\frac{{3{m^2}-3}}{{1+3{k^2}}}$．
所以：$|{{M_1}{M_2}}|=\sqrt{1+{k^2}}•\sqrt{\frac{{36{k^2}{m^2}-4（3{m^2}-3）（1+3{k^2}）}}{{{{（1+3{k^2}）}^2}}}}$=$\sqrt{1+{k^2}}•\sqrt{\frac{{-4（3{m^2}-3-9{k^2}）}}{{{{（1+3{k^2}）}^2}}}}$，
又m²=1-9k²，代入有：$|{{M_1}{M_2}}|=\sqrt{1+{k^2}}•\sqrt{\frac{{144{k^2}}}{{{{（1+3{k^2}）}^2}}}}$$⇒|{{M_1}{M_2}}|=\frac{12|k|}{{1+3{k^2}}}\sqrt{1+{k^2}}$．$⇒|{{M_1}{M_2}}|=12\sqrt{\frac{{{k^2}（1+{k^2}）}}{{{{（1+3{k^2}）}^2}}}}$，令t=k²，则$t∈（0，\frac{1}{9}]$，
令$f（t）=\frac{t（1+t）}{{{{（1+3t）}^2}}}$$⇒f'（t）=\frac{1-t}{{{{（1+3t）}^3}}}$，又$t∈（0，\frac{1}{9}]$，
所以f'（t）＞0在$t∈（0，\frac{1}{9}]$内恒成立，故函数f（t）在$t∈（0，\frac{1}{9}]$内单调递增，
故f（t）∈（0，$\frac{5}{72}$]，则有|M₁M₂|∈（0，$\sqrt{10}$]．

点评 本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程的运用，同时考查直线和椭圆及双曲线方程联立，运用韦达定理及弦长公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．