Question

5．已知函数f（x）=ax²-2x+a，a∈R．
（1）当a=-$\frac{1}{2}$时，求函数y=$\sqrt{f（x）}$的值域；
（2）若存在m＞0．使关于x的方程f（|x|）=m+$\frac{1}{m}$有四个不同的实根，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）得出函数y=$\sqrt{f（x）}$=$\sqrt{-\frac{1}{2}{x}^{2}-2x-\frac{1}{2}}$，配方得出y=$\sqrt{-\frac{1}{2}（x+2）^{2}+\frac{3}{2}}$，根据复合函数求解值域．
（2）f（|x|）是偶函数，令g（x）=ax²-2x+a，x≥0，y=m$+\frac{1}{m}$≥2，可以转化为g（x）在x≥0上与y=k，k≥2有2个不同的交点，
分类讨论当a=0时，当a＞0时，当a＜0时，根据性质得出不等式组求解即可．

解答 解：∵函数f（x）=ax²-2x+a，a∈R．
∴（1）当a=-$\frac{1}{2}$时，f（x）=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$-2x$-\frac{1}{2}$
函数y=$\sqrt{f（x）}$=$\sqrt{-\frac{1}{2}{x}^{2}-2x-\frac{1}{2}}$，
∵配方得出y=$\sqrt{-\frac{1}{2}（x+2）^{2}+\frac{3}{2}}$，
∴函数y=$\sqrt{f（x）}$的值域：[0，$\frac{\sqrt{6}}{2}$]
（2）∵f（|x|）=a|x|²-2|x|+a，a∈R．
∴f（|x|）是偶函数，
∵存在m＞0．使关于x的方程f（|x|）=m+$\frac{1}{m}$有四个不同的实根，
∴令g（x）=ax²-2x+a，x≥0，y=m$+\frac{1}{m}$≥2
则可以转化为g（x）在x≥0上与y=k，k≥2有2个不同的交点，
当a=0时，g（x）=-2x，不符合题意，
当a＞0时，g（x）=ax²-2x+a，x≥0，
满足$\left\{\begin{array}{l}{g（0）＞2}\\{g（x）_{min}=a-\frac{1}{a}＜2}\end{array}\right.$，
即a＞2，
当a＜0时，g（x）=ax²-2x+a，x≥0，在[0，+∞）单调递减，
g（0）=a＜0，
所以不存在m＞0．x≥0，使关于x的方程g（x）=m+$\frac{1}{m}$有2个不同的实根，
综上a＞2时，存在m＞0．使关于x的方程f（|x|）=m+$\frac{1}{m}$有四个不同的实根

点评 本题考查了二次函数的性质，单调性，函数图象的交点问题，等价转化的思想，含有的思维量较大，属于中档题．