Question

15．已知函数f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1
（1）求函数f（x）的最小值和最小正周期；
（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，c=$\sqrt{7}$，f（c）=0，且满足sinB=3sinA，
求a，b的值．

Answer 1

分析 （1）函数f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1，利用三角函数的图象与性质即可得出；
（II）由f（C）=0，可得$sin（2C-\frac{π}{6}）$-1=0，解得C=$\frac{π}{3}$，再利用余弦定理可得：c²=a²+b²-2abcosC，由sinB=3sinA，利用正弦定理可得．

解答 解：（1）∵函数f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1，
当$2x-\frac{π}{6}$=$2kπ-\frac{π}{2}$（k∈Z）时，
即x=kπ-$\frac{π}{6}$时，f（x）取最小值-2，
最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π；
（II）由f（C）=0，可得$sin（2C-\frac{π}{6}）$-1=0，解得C=$\frac{π}{3}$，
由余弦定理可得：c²=a²+b²-2abcosC，
∴7=a²+b²-ab，
∵sinB=3sinA，b=3a，
联立$\left\{\begin{array}{l}{b=3a}\\{{a}^{2}+{b}^{2}-ab=7}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=3}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质、正弦定理、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．