Question

6．函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-{x}^{2}，x≤1}\\{lnx，x＞1}\end{array}\right.$，若方程f（x）=mx-$\frac{1}{2}$恰有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{\sqrt{e}}$）．

Answer 1

分析 方程f（x）=mx-$\frac{1}{2}$恰有四个不相等的实数根可化为函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-{x}^{2}，x≤1}\\{lnx，x＞1}\end{array}\right.$与函数y=mx-$\frac{1}{2}$有四个不同的交点，作函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-{x}^{2}，x≤1}\\{lnx，x＞1}\end{array}\right.$与函数y=mx-$\frac{1}{2}$的图象，由数形结合求解．

解答 解：方程f（x）=mx-$\frac{1}{2}$恰有四个不相等的实数根可化为
函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-{x}^{2}，x≤1}\\{lnx，x＞1}\end{array}\right.$与函数y=mx-$\frac{1}{2}$有四个不同的交点，
作函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-{x}^{2}，x≤1}\\{lnx，x＞1}\end{array}\right.$与函数y=mx-$\frac{1}{2}$的图象如下，

由题意，C（0，-$\frac{1}{2}$），B（1，0）；
故k_BC =$\frac{1}{2}$，
当x＞1时，f（x）=lnx，f′（x）=$\frac{1}{x}$；
设切点A的坐标为（x₁，lnx₁），
则$\frac{ln{x}_{1}+\frac{1}{2}}{{x}_{1}-0}$=$\frac{1}{{x}_{1}}$；
解得，x₁=$\sqrt{e}$；
故k_AC =$\frac{1}{\sqrt{e}}$；
结合图象可得，
实数m的取值范围是（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{\sqrt{e}}$）．
故答案为：（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{\sqrt{e}}$）．

点评 本题考查了方程的根与函数的零点的关系应用及函数的图象的作法与应用，属于基础题．