Question

16．已知正项等比数列{a_n}满足：1na₁+1na₃=4，1na₄+1na₆=10，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记S_n=1na₁+1na₂+…+1na_n如果数列{b_n}满足：${b_n}=\frac{1}{{2{S_n}}}$，设${C_n}=（{b_1}+{b_2}+…+{b_n}）{（\frac{2}{3}）^n}$，求C_n的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用等比数列的通项公式与对数的运算性质即可得出；
（2）利用等差数列的前n项和公式、“裂项求和”、数列的单调性即可得出．

解答 解：（1）由题意可得，${a_1}{a_3}={e^4}，{a_4}{a_6}={e^{10}}，公比{q^6}={e^6}（q＞0）⇒q=e，{a_1}=e$，
∴${a_n}={e^n}$；
（2）由（1）可知，${S_n}=1+2+…+n=\frac{n（n+1）}{2}，{b_n}=\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
记${c_n}=（{b_1}+{b_2}+…+{b_n}）{（\frac{2}{3}）^n}=\frac{n}{n+1}{（\frac{2}{3}）^n}$，
则${c_{n+1}}-{c_n}=\frac{n+1}{n+2}{（\frac{2}{3}）^{n+1}}-\frac{n}{n+1}{（\frac{2}{3}）^n}$=$\frac{{-{n^2}-2n+2}}{3（n+1）（n+2）}{（\frac{2}{3}）^n}＜0$，
∴c_n＞c_n+1，
∴数列{c_n}是单调递减数列，${c_n}≤{c_1}=\frac{1}{3}$，即c_n的最大值为$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、对数的运算性质、等差数列的前n项和公式、“裂项求和”、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．