Question

2．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosωx，-1），$\overrightarrow{b}$（$\sqrt{3}$sinωx，1）（ω＞0），函数f（x）=（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{b}$+3 图象的一条对称轴与其最近的一个对称中心的距离为$\frac{π}{4}$．
（1）求f（x）的解析式；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，b=$\sqrt{3}$，S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且f（$\frac{c}{2}$+$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，求边c的值．

Answer 1

分析 （1）首先根据向量的数量积求出函数的关系式，再把函数的关系式变形成正弦形式，再利用函数的周期求出函数的解析式．
（2）利用上步的结果，先求出C的大小，进一步利用三角形的面积公式求出a的值，在利用余弦定理求出c的值．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow{a}$=（cosωx，-1），$\overrightarrow{b}$（$\sqrt{3}$sinωx，1）（ω＞0），
函数f（x）=（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{b}$+3
=（cosωx-$\sqrt{3}$sinωx，-2）•（$\sqrt{3}$sinωx，1）+3
=$\sqrt{3}sin（2ωx+\frac{π}{3}）-\frac{1}{2}$
由于：函数f（x）=（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{b}$+3 图象的一条对称轴与其最近的一个对称中心的距离为$\frac{π}{4}$．
所以函数的最小正周期为π．
所以：$T=\frac{2π}{2ω}=π$，
解得：ω=1．
所以函数的解析式为：f（x）=$\sqrt{3}sin（2x+\frac{π}{3}）-\frac{1}{2}$ 
（2）由（1）得：f（x）=$\sqrt{3}sin（2x+\frac{π}{3}）-\frac{1}{2}$
所以：f（$\frac{c}{2}$+$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
整理得：$\sqrt{3}sin（C+\frac{2π}{3}）-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
所以：$sin（C+\frac{2π}{3}）=\frac{1}{2}$
由于：0＜C＜π
所以：$\frac{2π}{3}＜C+\frac{2π}{3}＜\frac{5π}{3}$
则：$C+\frac{2π}{3}=\frac{5π}{6}$
解得：C=$\frac{π}{6}$，
由于：${S}_{△ABC}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
所以：$\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2}a•\sqrt{3}\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 
解得：a=2．
由余弦定理得：$c=\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}-2abcosC}$   
解得：c=1．

点评 本题考查的知识要点：向量的数量积的应用．三角函数关系式的恒等变换，利用函数的周期求函数的解析式，利用函数的定义域求角的大小，三角形面积公式的应用，余弦定理的应用．