Question

8．已知函数f（x）=alnx+$\frac{x^2}{2}$-（a+1）x，a∈R
（1）当a=-1时，求函数 f（x）的最小值；
（2）当a≤1时，讨论函数 f（x）的零点个数．

Answer 1

分析 （1）当a=-1时，f（x）=-lnx+$\frac{x^2}{2}$的定义域为（0，+∞），再求导，通过导数的正负确定函数的单调性，从而求最小值；
（2）先求函数f（x）的定义域，再求导f′（x）=$\frac{（x-1）（x-a）}{x}$，从而讨论a以确定导数的正负，结合函数零点的判定定理确定函数f（x）的零点个数．

解答 解：（1）当a=-1时，f（x）=-lnx+$\frac{x^2}{2}$的定义域为（0，+∞），
f′（x）=-$\frac{1}{x}$+x=$\frac{（x+1）（x-1）}{x}$，
故f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；
故当x=1时，函数f（x）取得最小值f（1）=$\frac{1}{2}$；
（2）f（x）=alnx+$\frac{x^2}{2}$-（a+1）x的定义域为（0，+∞），
f′（x）=$\frac{（x-1）（x-a）}{x}$，
①当a≤0时，f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；
故当x=1时，函数f（x）取得最小值f（1）=-a-$\frac{1}{2}$；
（i）当a=0时，令f（x）=$\frac{x^2}{2}$-x=0解得x=2；
即f（x）在（0，+∞）上只有一个零点；
（ii）当a=-$\frac{1}{2}$时，f（1）=0，
即f（x）在（0，+∞）上只有一个零点；
（iii）当a＜-$\frac{1}{2}$时，f（1）＞0，
故f（x）在（0，+∞）上没有零点；
（iv）当-$\frac{1}{2}$＜a＜0时，f（1）＜0，
且$\underset{lim}{x→{0}^{+}}$f（x）=+∞，$\underset{lim}{x→+∞}$f（x）=+∞，
故f（x）在（0，+∞）上有两个零点；
②当0＜a＜1时，
f（x）在（a，1）上单调递减，在（0，a），（1，+∞）上单调递增；
故f（x）_极大值=f（a）=alna-$\frac{1}{2}$a²-a＜0，
而$\underset{lim}{x→+∞}$f（x）=+∞，
故f（x）在（0，+∞）上只有一个零点；
③当a=1时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
且$\underset{lim}{x→{0}^{+}}$f（x）=-∞，$\underset{lim}{x→+∞}$f（x）=+∞，
故f（x）在（0，+∞）上只有一个零点；
综上所述，当0≤a≤1或a=-$\frac{1}{2}$时，f（x）在（0，+∞）上只有一个零点；
当a＜-$\frac{1}{2}$时，f（x）在（0，+∞）上没有零点；
当-$\frac{1}{2}$＜a＜0时，f（1）＜0，f（x）在（0，+∞）上有两个零点．

点评 本题考查了导数的综合应用及函数零点的判定定理的应用，同时考查了分类讨论的思想应用，属于难题．