Question

18．设△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c成等比数列，则$\frac{sinA+cosA•tanC}{sinB+cosB•tanC}$的取值范围是（　　）

• A． （0，+∞）
• B． $（{\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}，+∞}）$
• C． $（{0，\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}}）$
• D． $（{\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}，\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}}）$

Answer 1

分析 化简可得$\frac{sinA+cosA•tanC}{sinB+cosB•tanC}$=$\frac{b}{a}$，设$\frac{b}{a}$=t，由题意可得c=$\frac{{b}^{2}}{a}$，由三边关系可得abc的不等式组，把c=$\frac{{b}^{2}}{a}$代入可得t的不等式组，解不等式组可得．

解答 解：由三角函数公式和正弦定理化简可得：
$\frac{sinA+cosA•tanC}{sinB+cosB•tanC}$=$\frac{sinA+cosA•\frac{sinC}{cosC}}{sinB+cosB•\frac{sinC}{cosC}}$
=$\frac{sinAcosC+cosAsinC}{sinBcosC+cosBsinC}$=$\frac{sin（A+C）}{sin（B+C）}$=$\frac{sinB}{sinA}$=$\frac{b}{a}$，
设$\frac{b}{a}$=t，（t＞0），由题意可得b²=ac，即c=$\frac{{b}^{2}}{a}$，
代入到a+b＞c可得a+b＞$\frac{{b}^{2}}{a}$，可得a²+ab＞b²，
两边同除以a²可得1+$\frac{b}{a}$＞（$\frac{b}{a}$）²，即1+t＞t²，
整理可得t²-t-1＜0，解得$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$＜t＜$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
同理把c=$\frac{{b}^{2}}{a}$代入a+c＞b和b+c＞a可解得t＜$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$或t＞$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
综上可得$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$＜t＜$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
故选：D．

点评 本题考查两角和与差的三角函数和正弦定理，涉及三角形的三边关系和一元二次不等式的解集，属中档题．