Question

9．如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C、B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为（$\frac{12}{13}$，-$\frac{5}{13}$），∠AOC=α，若|BC|=1，则$\sqrt{3}$cos²$\frac{α}{2}$-sin$\frac{α}{2}$cos$\frac{α}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$的值为$\frac{5}{13}$．

Answer 1

分析 根据三角函数的定义，结合三角函数的辅助角公式进行化简即可得到结论．

解答 解：∵点B的坐标为（$\frac{12}{13}$，-$\frac{5}{13}$），设∠A0B=θ
∴sin（2π-θ）=-$\frac{5}{13}$，cos（2π-θ）=$\frac{12}{13}$，
即sinθ=$\frac{5}{13}$，cosθ=$\frac{12}{13}$，
∵∠AOC=α，若|BC|=1，∴θ+α=$\frac{π}{3}$，
则α=$\frac{π}{3}$-θ，
则$\sqrt{3}$cos²$\frac{α}{2}$-sin$\frac{α}{2}$cos$\frac{α}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosα-$\frac{1}{2}$sinα=cos（α+$\frac{π}{6}$）=cos（$\frac{π}{3}$-θ+$\frac{π}{6}$）=cos（$\frac{π}{2}-θ$）
=sinθ=$\frac{5}{13}$，
故答案为：$\frac{5}{13}$

点评 本题主要考查三角函数的化简和求值，利用三角函数的定义以及三角函数的辅助角公式是解决本题的关键．