Question

14．设变量x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}y≥x\\ x+3y≤4\\ x≥-2\end{array}\right.$则z=|x-3y|的取值范围为（　　）

• A． [2，8]
• B． [0，8]
• C． [4，8]
• D． [0，4]

Answer 1

分析 由约束条件作差可行域，令t=x-3y，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入t=x-3y求出t的范围，则答案可求．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}y≥x\\ x+3y≤4\\ x≥-2\end{array}\right.$作差可行域如图，

令t=x-3y，化为直线方程的斜截式得y=$\frac{1}{3}x-\frac{t}{3}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{x+3y=4}\end{array}\right.$，解得：A（-2，2），
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=x}\end{array}\right.$，解得：B（-2，-2），
由图可知，当直线y=$\frac{1}{3}x-\frac{t}{3}$过B时，直线在y轴上的截距最小，t有最大值为-2-3×（-2）=4；
当直线y=$\frac{1}{3}x-\frac{t}{3}$过A时，直线在y轴上的截距最大，t有最小值为-2-3×2=-8．
∴z=|x-3y|的取值范围是[0，8]．
故选：B．

点评 本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．