Question

8．已知数列{a_n}、{b_n}满足a_m+a_n=a_m+n，b_n•b_m=b_n+m（m、n∈N），若a₁=1，则a_n=n，若b₁=2，则b_n=2ⁿ．

Answer 1

分析 在已知递推式中取m=1，可得数列{a_n}、{b_n}分别为等差和等比数列，然后由等差数列和等比数列的通项公式得答案．

解答 解：由已知，对任意m，n∈N^*，
有a_m+a_n=a_m+n，b_n•b_m=b_n+m，
取m=1，得a_n+1=a_n+1，b_n+1=b_nb₁，
又a₁=1，∴a_n+1-a_n=1，
∴数列{a_n}为首项是1，公差为1的等差数列，
则a_n=1+1×（n-1）=n；
b₁=2，∴$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}=2$，
∴{b_n}为首项是2，公比为2的等比数列，
则${b}_{n}=2•{2}^{n-1}={2}^{n}$．
故答案为：n；2ⁿ．

点评 本题考查了数列递推式，考查了等差关系和等比关系的确定，考查了等差数列和等比数列的通项公式，是中档题．