Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P、Q分别是AD₁、BD的中点．
（1）求证：PQ∥平面DCC₁D₁；
（2）求PQ与平面BB₁D₁D所成角．

Answer 1

（1）证明：连接AC，CD₁，AC∩BD=Q

∵P、Q分别是AD₁、AC的中点
∴PQ∥CD₁，
∵CD₁?平面DCC₁D₁，
∴PQ∥平面DCC₁D₁；
（2）解：由（1）知PQ∥CD₁，∴PQ与平面BB₁D₁D所成角等于CD₁与平面BB₁D₁D所成角
连接D₁Q，由AC⊥BD，AC⊥DD₁，得AC⊥平面BB₁D₁D，∴∠CDQ₁是CD₁与平面BB₁D₁D所成角
在直角△CDQ₁中，sin∠CDQ₁==
∴∠CDQ₁=30°
∴PQ与平面BB₁D₁D所成角等于30°．
分析：（1）利用三角形的中位线性质，证明PQ∥CD₁，再利用线面平行的判定可得PQ∥平面DCC₁D₁；
（2）由（1）知PQ∥CD₁，则PQ与平面BB₁D₁D所成角等于CD₁与平面BB₁D₁D所成角，连接D₁Q，可得∠CDQ₁是CD₁与平面BB₁D₁D所成角，由此可得结论．
点评：本题考查线面平行，考查线面角，解题的关键是掌握线面平行的判定，作出线面角，属于中档题．