Question

如图，在三棱锥P-ABC，AB⊥BC，AB=BC=kPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC．
（1）若k=1，试求异面直线PA与BD所成角余弦值的大小；
（2）当k取何值时，二面角O-PC-B的大小为

π

3

？

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,异面直线及其所成的角

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连结OD，由已知条件推导出∠ODB为异面直线PA与BD所成角，由此能求出异面直线PA与BD所成角余弦值的大小．
（2）在面PAC上作OE⊥PC于点E，则∠OEB是二面角O-PC-B的平面角，由此能求出k取

2 3

3

时，二面角O-PC-B的大小为

π

3

．

解答： 解：（1）连结OD，∵点O、D分别是AC、PC的中点，
∴OD∥PA，
∴∠ODB为异面直线PA与BD所成角，OD=

1

2

PA，
设PA=1，则AB=BC=k=1，OD=

1

2

，
∵AB⊥BC，AB=BC，OP⊥底面ABC，D是PC的中点，
∴OB⊥面PAC，
∴OB⊥OD，
又∵AC=

AB2+BC2

=k

2

=

2

，
∴OB=OC=k•

2

2

=

2

2

，
∴BD=

OB2+OD2

=

k2 2 + 1 4

=

3

2

，
∴cos∠ODB=

OD

BD

=

3

3

．
∴异面直线PA与BD所成角余弦值的大小为

3

3

．
（2）在面PAC上作OE⊥PC于点E，
∵OB⊥面PAC，∴∠OEB是二面角O-PC-B的平面角，
PC=PA=1，AB=BC=k，OB=OC=

k 2

2

，
OP=

PC2-OC2

=

1- k2 2

，
∵OP•OC=PC•OE，
∴OE=OP•OC=OP•OB，
∴cot∠OEB=

OE

OB

=OP=

1- k2 2

=cot

π

3

=

3

3

，
∴

1- k2 2

=

3

3

，解得k=

2 3

3

，
∴k取

2 3

3

时，二面角O-PC-B的大小为

π

3

．

点评：本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查二面角为

π

3

时k的值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．