Question

设数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=a_n+3•2^n-1．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）令b_n=n（a_n+1），求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）利用数列的递推关系即可，求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）求出b_n=n（a_n+1）的通项公式，利用错位相减法即可求数列{b_n}的前n项和S_n．

解答： 解：（1）∵a₁=2，a_n+1=a_n+3•2^n-1．
∴a_n+1-a_n=3•2^n-1．
即当n≥2时，a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=2+3•2⁰+3•2¹+3•2²+…+3•2^n-2．
=2+3×

1-2n-1

1-2

=3×2n-1-1，n≥2，
当n=1时，也满足条件，
故数列{a_n}的通项公式a_n=3•2^n-1-1
（2）∵bn=n(an+1)=3n×2n-1，
∴Sn=3(1•20+2•21+3•22+…+n•2n-1)
设x=1•2⁰+2•2¹+3•2²+…+n•2^n-1 ①，
2x=1•2¹+2•2²+3•2³+…+（n-1）2^n-1+n•2ⁿ②
①-②-x=1+2¹+2²+2³+…+2^n-1-n•2ⁿ=1+

2(1-2n-1)

1-2

-n•2n=-1+（1-n）•2ⁿ
∴x=（n-1）•2ⁿ+1，
∴Sn=3(n-1)•2n+1．

点评：本题主要考查数列的通项公式的求法，以及利用错位相减法求数列的和，考查学生的运算能力．