Question

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足

OC

=-

OA

+2

OB

．
（1）试用

AB

表示

AC

；
（2）已知A（1，cosx），B（1+sinx，cosx），x∈[0，

π

2

]，f（x）=

OA

•

OC

-2（m²+1）|

AB

|的最小值为

1

2

，求实数m的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：综合题,平面向量及应用

分析：（1）由

OC

=-

OA

+2

OB

，得

OC

-

OB

=-

OA

+

OB

，利用减法的三角形法则可得结果；
（2）根据向量的线性运算、数量积运算可得f（x）=-sin²x-2m²sinx+2，令t=sinx，则可化为二次函数，由二次函数的性质可得最小值，令其为

1

2

可求m．

解答： 解：（1）由

OC

=-

OA

+2

OB

，得

OC

-

OB

=-

OA

+

OB

，即

BC

=

AB

．
∴

AC

-

AB

=

AB

，
∴

AC

=2

AB

．
（2）

OC

=-

OA

+2

OB

=（-1，-cosx）+2（1+sinx，cosx）=（2sinx+1，cosx），

OA

•

OC

=（1，cosx）•（2sinx+1，cosx）=2sinx+1+cos²x，|AB|=sinx，
∴f（x）=

OA

•

OC

-2（m²+1）|

AB

|=2sinx+1+cos²x-2（m²+1）sinx，
=-sin²x-2m²sinx+2，
令t=sinx，∵x∈[0，

π

2

]，∴t∈[0，1]，
则-sin²x-2m²sinx+2=-t²-2m²t+2在[0，1]上单调递减，
∴f（x）的最小值为-1-2m²+2=

1

2

，即m²=

1

4

，
∴m=±

1

2

．

点评：本题考查平面向量的线性运算、数量积运算、二次函数的性质，属中档题．